Bạn ơi đề bài có điều kiện a, b, c không vậy. Hay là a, b, c bất kì?

dạ a,b,c>0 ạ.em quên mất 

Với a, b, c >0

\(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\) (1)

<=> \(1-\left(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\right)\le1-\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\right)\ge0\)(2)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)

Với a,b, c>0

(1) <=> \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3-ab^2-ac^2-ba^2-bc^2-ca^2-cb^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+a^2\left(a-c\right)+b^2\left(b-a\right)+b^2\left(b-c\right)+c^2\left(c-a\right)+c^2\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2\ge0\)Luôn đúng với mọi a, b, c dương

Vậy (1) đúng

"=" xảy ra <=> a=b=c

Cho x,y>0 thỏa mãn x³+y³=x−y. Chứng minh: x²+y²<1.

Cho x,y>0x,y>0 thỏa mãn x³+y³=x−y. Chứng minh: x²+y²<1.

.............................

Ta có : 4( b² + c² + d² + e²) ≥( b + c + d +e )² ( dễ lắm, bạn tự cm lấy nhé, ) 
=> ( b² + c² + d² + e²) ≥ ( b + c + d +e )²/4 (*) 
G/s bdt đề bài đúng, ta có: 
<=> a² + b²+ c² + d²+ e² - a(b + c + d +e) ≥ 0 
Lại có ( *) => ta có : a² + b²+ c² + d² + e² - a(b + c + d +e) ≥ a² + ( b + c + d +e )²/4 - a(b + c + d +e) 
<=> [ a - ( b + c+ d +e)/2]² => hiển nhiên đúng 
Vậy ta có dpcm. 
Với cách này ta cũng có thể chứng minh các bdt tương tự với 3 biến, 4 biến v.v.... 
Chúc bạn học giỏi, chào bạn!  

mình nghĩ đề nó như thế này

\(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2-\left(b+d^{ }\right)^2}\)

hai zế BĐT ko âm nên bình phương 2 zế ta có

\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\left(1\right)\)

Nếu \(ac+bd< 0\)thì BĐT đc c/m

Nêu \(ac+bd\ge0\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2acbd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2acbd\ge0\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

dấu = xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Giải theo kiểu lớp 8 cho chắc :v

Ta có : \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2+3b^2+3c^2}{9}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Đúng )

Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz dưới dạng engel ta có :

\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)